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Inversion où on s'intéresse à la fonction \( z \in \mathbb{C}^* \mapsto \frac{1}{z} \) : de ses propriétés géométriques classiques (image d'un cercle ou d'une droite du plan) à sa représentation qui donne de jolies figures. |
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La fougère de Barnsley. Il s'agit d'une suite de points aléatoires de \( \mathbb{R}^2 \) dont l'image ressemble curieusement à une fougère. |
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On se fixe \(c \in \mathbb{C} \) et on étudie les suites complexes \( (u_n)\) vérifiant pour tout \(n \in \mathbb{N} \), \( u_{n+1}=u_n^2+c \). On s'intéresse aux valeurs de \(u_0\) pour lesquelles on obtient une suite bornée. Cela permet d'obtenir de jolies et célèbres fractales : les ensembles de Julia. En s'intéressant ensuite à la connexité de ces ensembles, on obtient l'ensemble de Mandelbrot. |
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La célèbre série harmonique, \( \sum \frac{1}{k} \), apparaît naturellement lorsqu'on cherche à construire des surplombs de taille maximale. |
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Il y a plusieurs façons d'étudier la propagation d'épidémies : cela peut par exemple se faire à travers des automates cellulaires ou encore par le modèle SIR. Dans les deux modèles, on peut classer les individus en trois catégories
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Quand on pense géométrie, on se place naturellement dans le cadre de la géométrie euclidienne. Si on en change les axiomes de départ, on peut obtenir d'autres géométries. La géométrie hyperbolique est l'une d'elles et les pavages du disque de Poincaré donnent des images remarquables. |
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La suite logistique est définie par \( u_0 \in [0,1] \) et pour tout \( n \in \mathbb{N} \), \( u_{n+1}=au_n(1-u_n) \). Selon la valeur de \( a\), la suite a des comportements assez variés. Pour les "petites" valeurs de \(a \), on obtient une suite convergente, tandis que pour \(a\) s'approchant de \(4\), la suite a un comportement "chaotique". |
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La triangulation . Il s'agit ici de partitionner les polygones ou des surfaces en triangles. De façon inattendue, cela amène à la résolution du problème de la galerie d'art où on se pose la question de savoir comment optimiser un réseau de caméras de surveillance pour couvrir toute une galerie (qui peut avoir une forme biscornue). |
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Après quelques rappels sur la description des isométries du plan, on découvre que, lorsqu'on classe les frises selon les isométries qui les laissent invariantes, il n'existe que 7 familles de frises. |
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Il n'existe que 3 pavages périodiques réguliers et 8 autres périodiques et semi-réguliers. Parmi les pavages non périodiques, observons les magnifiques pavages de Penrose. |
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Le billard sur des tables de forme parfois originale (rectangulaire, circulaire, triangulaire ou même elliptique). On s'intéresse aux trajectoires et notamment à l'existence de trajectoires périodiques. Le problème de l'éclairage est un problème connexe : dans une pièce dont les murs sont tapissés de miroirs, est-il toujours possible d'éclairer toute la pièce à l'aide d'une unique ampoule ? |
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Un L-système est un système de grammaire formel muni d'un alphabet, de constantes, d'un axiome de départ et de règles de réécriture. Quelques L-systèmes célèbres : le flocon de Von Koch, le triangle de Serpinski, la courbe du dragon ou même des plantes ! |
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Des systèmes proies/prédateurs ont été modélisés par les mathématiciens Alfred Lotka et Vito Volterra par un système différentiel dont les solutions sont périodiques à l'image de ce qu'on peut observer dans la nature. |
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Le problème du cavalier d'Euler ou comment faire faire le tour d'un échiquier à un cavalier. |
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La courbe du dragon est une courbe continue de longueur infinie qui, comme son nom l'indique, a une forme de dragon. De façon inattendue, elle permet de paver le plan. |
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Difficile de savoir si deux nœuds sont égaux. Des invariants basés sur des coloriages ou des polynômes permettent de répondre partiellement à cette question.
En mettant bout à bout deux nœuds, on dit qu'on les multiplie. Avec cette loi, on peut alors parler de nœuds premiers et de décomposition d'un nœud en produit de nœuds premiers. |
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Une tresse est une suite de croisements. Elle peut avoir 1, 2, ..., \(n\) brins. Partant de deux tresses, il n'est pas toujours facile de savoir si ces deux tresses sont égales ni, pour une seule tresse, de savoir si on peut la défaire. |
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La suite de Syracuse est définie par \( u_0 \in \mathbb{N}^* \) et pour \(n \in \mathbb{N} \), \(u_{n+1}=\frac{u_n}{2} \) si \(u_n\) est pair et \(u_{n+1}=3u_n+1\) si \(u_n\) est impair. Une célèbre conjecture affirme que, quelque soit le choix de \(u_0\), il existe un entier \(n\) tel que \(u_n=1\). |
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La célèbre suite de Fibonacci a été introduite initialement pour modéliser l'évolution d'une population de lapins. Finalement, on la rencontre dans de nombreux domaines et, en la regardant bien, on peut voir apparaître des farfalles. |
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Modélisation mathématique du jonglage par des tresses ou des suites d'entiers appelées siteswap. |
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Un chien court rejoindre son maître : sa trajectoire est une courbe de poursuite. Selon la trajectoire du maître, il pourra mettre très longtemps à le rattraper. |
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Partant d'un réseau hexagonal, carré, ... on s'intéresse aux chemins auto-évitants c'est-à-dire aux chemins qui empruntent les arêtes de ce réseau mais sans jamais utiliser deux fois la même arête. Plus compliqué, si le réseau est fini, on peut s'intéresser aux chemins auto-évitants qui remplissent tout le réseau. |
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Comment approximer \( \pi \) en lançant des aiguilles sur un parquet ? C'est l'expérience des aiguilles de Buffon. En effet, en comptant la proportion de celles qui intersectent deux lames du plancher, on peut obtenir une valeur approchée de \( \pi \). Puis, on peut faire de même avec des spaghetti plutôt que des aiguilles et obtenir alors la formule de Barbier qui nous mène alors au joli théorème de Barbier. |
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Comment utiliser les probabilités pour faire du calcul approché d'intégrales ou de façon générale calculer des aires ou même des volumes ? |
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Petit tour des courbes paramétrées qu'on croise dans la vie de tous les jours : les cycloïdes (lorsqu'on fait du vélo), les astroïdes (lorsqu'on prend le bus ou qu'on bricole avec une échelle ou encore lorsqu'on joue aux cartes), les cardioïdes (lorsqu'on prend son petit déjeuner), ... |
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Partant d'un réseau de forme régulière périodique (carré, triangulaire ou hexagonal), chaque arête est fermée avec une certaine probabilité \( p\). On s'intéresse alors à la probabilité de pouvoir traverser le réseau : c'est la percolation sur arêtes. Si on choisit plutôt de colorier les carrés, triangles ou hexagones du réseau, on parle alors de percolation sur sites. |
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Quel rapport y a-t-il entre la règle, le compas et les entiers premiers de Fermat ? Les polygones bien sûr ! |